Цель урока: изучить моделирование в задаче выбора положения железнодорожной станции.
Постановка задачи (этап 1)
Задача. В районе расположения четырех населенных пунктов A, Б, В и Г проходит прямолинейный участок железной дороги. По просьбе жителей в этом районе решено построить железнодорожную станцию и от нее прямолинейные автомобильные дороги к населенным пунктам.
Найти положение железнодорожной станции, при котором общая длина новых автомобильных дорог была минимальной.
Оценка имеющейся информации и выбор плана создания модели (этап 2)
Объектом исследования является положение железнодорожной станции на участке железной дороги. Для определенности условий задачи должно быть точно задано положение населенных пунктов и железной дороги. Пользуясь подробной картой, эти данные можно получить.
Из пространственных соображений ясно, что нужное положение станции должно существовать. Но устное решение задачи с достаточной точностью невозможно.
Сначала необходимо строить документальную математическую модель. После построения математической документальной модели нужно будет найти метод решения полученной математической задачи. Численное решение будем искать с помощью электронных таблиц.
Таким образом, создадим модель по следующему плану:
- 3а — создание документальной математической реализации модели;
- 3б — выбор метода решения математической задачи;
- 3в — создание компьютерной реализации модели.
Создание документальной математической реализации модели (этап 3а)
Так как речь идет о положении пункта (станции) на некотором участке земной поверхности, то проще всего ввести декартову систему координат.
По железной дороге направим ось ОХ, а ось OY построим левее участка с населенными пунктами. В этой системе координат каждый населенный пункт получит свои координаты.
Будем считать, что работа с картой проведена и эти координаты (в км) вычислены: A(1; 4), Б(4; 3), В(5; –2), Г(8; 2). Обозначим условное положение станции точкой С
По построению точка С имеет координаты (x; 0) и нужно найти значение x, решающее задачу.
Расстояние |AС| между точками А(x1; y1) и С(x; 0) находится по формуле:
Вычислив расстояние от С до всех четырех точек, можно найти сумму расстояний: f=|AС|+|БС|+|ВС|+|ГС|.
Выбор метода решения математической задачи (этап 3б)
Сумма расстояний f меняется при изменении x (при изменении положения станции). Таким образом, в задаче построена функция f(x), и нужно найти значение x, при котором эта функция принимает минимальное значение.
Будем использовать приближенный расчетный метод. Для этого найдем подходящий промежуток для значений x, построим на этом промежутке систему равноотстоящих точек, а затем — таблицу значений функции f(x) в этих точках. Останется найти в таблице минимальное значение f(x) и соответствующую ему точку (значение x). Это и будет ответ.
Из анализа рисунка 2 следует, что нет смысла брать точку С левее перпендикуляра к оси OX через крайнюю левую точку A. Аналогично получается и правая граница значений x. Таким образом, для наших исходных данных получаем, что имеет смысл рассматривать только значения x на отрезке от 1 до 8.
Для построения системы точек на промежутке возьмем шаг, равный 0,25 (км), т.е. расчеты будем вести в 29 точках: (8 – 1) / 0,25 + 1 = 29.
Будем считать значение x = 1 начальным в системе точек.
Создание компьютерной реализации модели (этап 3в)
Используем схему табличной модели в электронных таблицах. В первой строке рабочей таблицы введем название «Модель выбора положения».
Исходными данными для задачи являются координаты пунктов A, Б, В, Г, начальное значение и шаг величины x.
Можно расположить все исходные данные по общей схеме (в 10 строк). A можно, например, данные о координатах точек задать в виде небольшой таблицы.
Затем ниже уже в строках задать начальное значение и шаг переменной x.
В расчетной таблице будем отображать значение переменной x (столбец X), расстояния до каждого населенного пункта (столбцы AС, БС, ВС, ГС) и сумму расстояний (столбец Сумма). Рабочая таблица получит вид, представленный на рисунке
Первая ячейка первой строки расчетной таблицы (12-й строки рабочей таблицы) содержит начальное значение x: A12: =A7
Затем введем первую формулу В12: =КОРЕНЬ((B$4–$A12)^2+B$5^2)
Абсолютные адреса ячеек введены для обеспечения последующего копирования формулы. Формулы в ячейки C12: E12 вводятся заполнением вправо содержимым ячейки В12.
Последняя ячейка первой строки расчетной таблицы содержит формулу: F12: =СУММ(B12:E12)
Теперь введем формулы во вторую строку расчетной таблицы. А13: =A12+$A$8
Ячейки блока В13:E13 заполняются вниз содержимым блока B12:E12. Для остальных 27 строк расчетной таблицы, включая строку 40 рабочей таблицы, используем заполнение вниз содержимым блока A13:F13.
Расчетную таблицу можно дополнить диаграммой. Для этого выделяем в расчетной таблице блок F11:F40, вставляем на свободное место рабочей таблицы диаграмму (График с маркерами) и корректируем положение графика. Легенду можно удалить.
На диаграмме следует изменить и подписи горизонтальной оси. Опять щелкаем правой клавишей мыши по подписям горизонтальной оси. Появляется контекстное меню, в котором выбираем пункт Выбрать данные … . Появляется диалоговое окно Выбор источника данных. В правой зоне щелкаем по кнопке Изменить. Открывается новое окно Подписи оси.
Теперь в рабочей таблице выделяем блок А12:А40 с данными и щелкаем по кнопке ОК в окне Подписи оси. Опять появляется окно Выбор источника данных, в котором тоже щелкаем по кнопке ОК. Подписи горизонтальной оси меняются на значения первого столбца расчетной таблицы.
Проверка адекватности модели (этап 4)
Адекватность модели проверяется рассчитанными данными. Для x=2 Сумма равна 20,63467738.
Получение решения задачи с помощью модели (этап 5)
Для ответа на вопрос задачи анализируется столбец Сумма расчетной таблицы, в нем находится минимальное значение. Ответом будет соответствующее значение в столбце x. Уменьшая шаг изменения x и увеличивая тем самым число расчетных точек на промежутке, положение станции можно найти с любой степенью точности.
Задания
Файл, с описанием заданий можно скачать по ссылке (скачать).
Домашнее задание
§ 23 учебного пособия, ответить на вопросы
Форма отправки
Форма видна только зарегистрированным пользователям.